TABLAS LOGICAS

En esta clase de problemas se maneja la variable lógica,  esta tiene dos características fundamentales.

• La primera expresa una presencia o ausencia de una relación cierta entre dos variables y por tanto solo pueden tomar los valores de Verdadero y Falso.
• La segunda, que son mutuamente excluyentes, es decir que una vez que se da una relación cierta entre los valores de dos variables, no puede ocurrir otra relación verdadera entre los valores de ese mismo par de variables.

Pasos para la estrategia para resolver problemas de tablas lógicas:
1. Leer el problema.
2. Identificar las variables y la pregunta del problema.
3. Elaborar la tabla.
4. Leer el problema paso a paso, anotar o postergar la información.
5. Inferir otras relaciones a partir de la información que se tiene de los datos y de la relación mutuamente excluyente.
6. Releer el problema para relacionar datos postergados.
7. Verificar la congruencia del razonamiento que se siguió.

RELACIONES MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Una característica importante de las tablas lógicas es la relación mutuamente excluyente,  esta se observa cuando determinamos la relación entre dos variables que es correcta y verdadera,  esta relación excluye de las otras variables la posibilidad de que se establezca una relación con ellas y que también sea verdadera.

INFORMACIÓN INCOMPLETA
Cuando hablamos de información incompleta es un problema, nos referimos a que dentro del texto no se encuentran todos los elementos o variables para poder resolver el problema, esto no implica que el problema no tenga solución.  Solamente hay que emplear la mente lógica para deducir que elementos o variables me hacen falta y extraerlos a partir de la información que si tengo.

GRAFICA PONDERADA

En el siguiente ejemplo se muestra como se utiliza un modelo de gráficas para analizar un problema de manufactura.
Con frecuencia en la manufactura, es necesario hacer agujeros en hojas de metal, luego se atornillan los componentes a estas hojas de metal. Los agujeros se perforan usando un taladro controlado por computadora para ahorrar tiempo y dinero, el taladro debe moverse tan rápido como sea posible.

Los vértices de la gráfica corresponden a los agujeros. Cada par de vértices se conectan por una arista. En cada arista se escribe el tiempo para mover  el taladro entre los hoyos correspondientes. Una gráfica con números en las aristas, se llama gráfica ponderada

DIAGRAMAS DE FLUJO

Podemos considerar a un diagrama de flujo como la representación gráfica de la información mediante el uso de una simbología básica, con la cual cada símbolo representa una acción a seguir, dando coherencia a la información que se representa ya sea en un algoritmo, pseudocódigo o codificación.

Los símbolos más comunes para representar un procedimiento son los siguientes:

Ejemplo

TEORIA DE GRAFOS ( Circuito de Euler y circuitos de Hamilton)

Circuito De Euler. Sea G un grafo sin vértices aislados un circuito que contiene todas las aristas de G recibe el nombre de Circuito Euleriano.
Un Circuito Euleriano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vertice y recorre cada arista exactamente una vez.

Teorema. Sea G un grafo G contiene un Circuito Euleriano si y solo si:

• G es contexto
• Cada vertice de G es de grado par

Circuito de Hamilton. Un circuito o Ciclo Hamiltoniano es un ciclo simple que contiene todos los vértices de G un circuito hamiltoniano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice y pasa por cada vértice una sola vez.

Conjuntos

Conjunto de vértices es V(G)={x, y, z, v, v}

Conjunto de aristas es A(G)={xy, xz, yx, yz, zx, zy}

GRAFO

Un grafo es una estructura que posee elementos de una sola estructura, relacionadas con vínculos de una misma base, a estos elementos les llamaremos puntos líneas.

Diagrama representativo de un grafo es una figura constituida por puntos unidos entre si, por segmentos. Los diagramas de flujo y los árboles son casos particulares de grafos.

Dirección.  En ciertos gráficos se indica la dirección de las líneas con una flecha originándose hacia los grafos no orientados.

Los grafos en los que las líneas no tienen dirección se denominan grafos no orientados.

Arista. Línea que conecta dos puntos en un grafo no orientado.
Arco. Línea que conecta dos puntos en un grafo orientado.

RECURSIVIDAD "BUCLES"

Bucles. Son una parte fundamental de la programación,  sin embargo, es posible construir programas sin utilizarlos, algunos lenguajes no tienen una construcción específica de Bucles a diferencia de for, while, etc., si no que utilizan una técnica de programación conocida como recursividad. Esta resulta ser una técnica muy poderosa para la solución de determinados programas.

La recursividad simplemente significa aplicar una función como parte de la definición de esa misma función.  La clave del funcionamiento es que obligatoria mente debe existir una conducción terminal, con el objeto de que la condición sea la función hacia una resolución no recursiva en algún punto de lo contrario, la función entra en un bucle y nunca finaliza.

La matemática factorial se define como el producto de todos los números hasta el argumento.  El factorial de 1=1 si suponemos un poco nos daremos cuenta de que tenemos otra manera de expresar esta función.  El factorial de n=n veces el factorial de n-1

Ejemplo:
1!=1
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
n!=1*2*3*...,(n-2)*(n-1)*(N...,

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

Ejemplos:

(12ab+3ac)(5b+3z+2c)
60ab2+36abz+24abc+15acb+9acz+6ac2

(5bc-3b)(4ac+5z+4zx)
20abc2+25bcz+20bczx-12bac-15bz-12bzx

BINOMIO AL CUBO

Para resolver un binomio seguimos la siguiente regla:

“El cubo del primero, mas el triple producto del primero al cuadrado por el segundo, mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, mas el cubo del segundo”.

a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Ejemplo:
(x+3)^3
=x^3+3(x)^2(3)+3(x)(3)^2+(2)^3
=x^3+9x^2+27x+8

BINOMIO AL CUADRADO

Un binomio es :

a^2+2ab+b^2

Para resolver un binomio seguimos la siguiente regla:

“El cuadrado del primero, mas el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadro del segundo”

Ejemplo:

(x+5)^2
=x^2+2(5x)+5^2
=x^2+10x+25

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Comenzaremos por la combinatoria elemental contando de cuantas maneras diferentes se puede seleccionar un cierto número de elementos de un conjunto, para contar este número es preciso fijar los criterios de una selección a otra. 

• El orden de los elementos.
• Número de veces que puede aparecer cada uno.

Permutaciones.
Una permutación es un arreglo ordenado de elementos, cosas, objetos, en donde el orden si importa. Existen dos tipos de permutaciones: con repetición y sin repetición. 

En el caso de permutaciones con repetición es necesario implementar la siguiente formula:

nPr= n^r

Para las permutaciones sin repetición la formula es:

nPr= n!/(n-r)!

Donde n es el número de elementos que se pueden elegir y se eligen r de ellos.

Combinaciones.
Una combinación es un arreglo de elementos en donde el orden no importa. 

Sin repetición. Si cada elemento puede aparecer como mucho una vez, hablaremos de selecciones sin repetición.

Con repetición.  En cambio si no hay esta restricción,  hablaremos de selecciones con repetición.

Ejemplo. 

Combinacion

De un grupo de 12 alumnos van a sacar su credencial en grupos de 3 en 3. ¿Cuántas combinaciones se pueden realizar?
n= 12 (cantidad de alumnos totales)
r= 3 (variable)
Sustituyendo en la formula nos queda:

nCr= n!/r!(n-r)!

nCr= 12!/3!(12-3)!
=479001600/2177280
= 220 C

Ejemplo:
Permutación

Un portafolio cuenta con 4 números del 0 al 4. ¿Cuantos números diferentes se pueden formar?
n= 5 (cantidad de números totales)
r= 4 (variable)
Sustituyendo en la formula nos queda:

nPr=5^4 =625

PROPIEDADES DE LA ADICION

El orden de los sumandos no altera la suma o el total.
Ejemplo:
5+4=9 ó 4+5=9

Propiedad asociativa La forma de agrupar más de dos sumandos no altera la suma o total;
Ejemplo:
(8+7)+6=21 ó 8+(7+6)=21

Propiedad de elemento neutro A cualquier número que se le adiciones un cero el resultado es el mismo;
Ejemplo:
9+0=9 ó 0+9=9

Ejercicios

3a+2a=5a
-3b-7b=-12b
-m-3m-6m-5m= -15m

PRINCIPIOS DE CONTEO

Propiedades de la multiplicación.

Propiedad conmutativa. Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo si importar el orden de los multiplicandos;
Ejemplo: 4*2=2*4, 6*5=5*6

Propiedad asociativa. Cuando se multiplican tres o mas números,  el producto es el mismo sin importar como se agrupen los factores;
Ejemplo: (2*3)*4=3*(2*4)

Propiedad de elemento neutro. El producto de cualquier número multiplicado por 1 es el mismo número;
Ejemplo: 5*1=5

Propiedad distributiva.  La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número;
Ejemplo: 4*(6+3)=(4*6)+(4*3)

+ + = +

+ - = -

- + = -

- - = +

Factorización

xy^2-y^2w
Y^2(x-w)
xy^2-y^2w

CONJUNTOS VACIOS

El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es un conjunto de cualquier conjunto.

Ejemplo:

ø= {x|x son los dinosaurios que viven en la actualidad}

{}= {x|x son los hombres mayores de 300}

ø={x|x son números positivos menores que cero}

Conjunto Universal. Es aquel que contiene todos los elementos bajo consideración se denota con U y gráficamente se representa mediante un rectangulo.

Ejemplo:
U={x|x son los días de la semana}={lunes, martes, miércoles,  jueves,  viernes,  sábado,  domingo}
A={x|x son los días de la semana inglesa}={lunes, martes,  miércoles,  jueves, viernes}
B={x|x son los días de fin de semana}={sabado, domingo}
C={x|x son los días de la semana con menos de 7 letras}={lunes, martes, jueves, sabado}
Notese ACU BCU CCU

Conjunto finito. Es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

Ejemplo:
J={x|x es el número de días del mes de noviembre}
K={x|x2=4}
L={x|x es la cantidad de autos en el D.F}

Conjunto infinito. Es aquel cuyos elementos no pieden ser cuantificados.

N={1, 3, 5, 7, 9,...}
M={2, 4, 6, 8, 10,...}
E {x|x es la cantidad de puntos en una línea}

Conjuntos iguales. Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos y se denota con el símbolo =

Ejemplo:
R= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
S={x|x es un dígito}

Desigualdad de conjuntos. Dos conjuntos son iguales si por lo menos difieren de un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos y se denota con el símbolo =

Ejemplo:
P= {x|x2=9}
E={-2, 2}
P=E

Conjuntos equivalentes.  Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad y se denota por el símbolo

D={x|x son las estaciones del año}
E={x|x es un punto cardinal}
D E        n (D)=4          n(E)=4

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denotan como AUB esto es AUB {x|x €A o X €B}

Ejemplo:
A={mango, ciruela, uva, naranja, manzana,  sandía}
B={durazno,  melón,  uva, naranja,  sandía,  plátano}
AUB={mango, ciruela,  uva, naranja,  manzana,  sandía, durazno, melón,  plátano}

La intersección de dos conuuntos A y B, es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denotan como:
AnB esto es AnB={x|x €A o X €B}

Ejemplo:
A={mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía}
B={durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano}
AnB={uva, naranja,  sandía}

Conjuntos ajenos. Un conjunto ajeno es cuando su intersección es el conjunto vacío,  es decir,  que no tienen nada en común.

Esto es
AnE={}
AnE=Ø
Ejemplo:
A={mango,  ciruela, uva, naranja, manzana, sandía}
E={limón,  fresa, pera, mandarina,  cereza}
AnE={}  o  AnE=Ø

Complemento. El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como A'

Esto es:
A' ={X€U|X€A}
Ejemplo:
U= {mango, kiwi, ciruela,  uva, pera, naranja, cereza,  manzana,  sandía,  durazno,  limón,  melón,  plátano}
A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía}
A'= {kiwi, pera, cereza, durazno,  limón,  melón,  plátano}
En este ejemplo se puede notar como n (A)+ n (A')= n (U)

La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden), es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenencen a B y se denota como A-B
Esto es:
A-B={x|x€A  y  x €B}

Ejemplo:
A={mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía}
B={durazno,  melón, uva, naranja, sandía,  plátano}
A-B={mango, ciruela, manzana}
B-A={durazno, melón,  plátano}
Se puede advertir que A-B=B-A

CARDINALIDAD

La cardinalidad de un conjunto se define como el numero de elementos que posee se denota por medio de los símbolos:

 µ o #

CONJUNTOS

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.
Para denotar a los conjuntos se usan letras mayusculas. Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como:

x1 € A

En caso de que un elemento no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: x1 no pertenece a A
x1 € A

Existen 4 formas de enunciar los conjuntos:

1. Por extensión o enumeración: los elementos son enunciados entre llaves y separados por comas, ejemplo:
A= {x1, x2, x3... xn}

2. Por compresión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo:
|"tal que"
A={x|P(x)}={x1,  x2, x3,...xn}

3. Diagramas de Ben: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.

4. Por descripción verbal: es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos. Ejemplo: dada la descripción verbal "el conjunto de las letras vocales";

Ejemplo:
Expresar la extensión,  comprensión y Diagrama de Ben.
1. A={a, e , i, o, u}
2. A={x|x(A)}={a, e , i, o, u}

4. "El conjunto de las letras vocales"

INDUCCION MATEMATICA(Función Matemática)

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones o una proposición que depende de un parámetro "n" que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales.

Ejemplo:

n= 1

n!>=2n
1>=2(1)-1
1>=1

VERDADERO

n=2

n!>=2n-1
2!>=2(2)-1
2>=3
FALSO

TABLAS DE VERDAD

No (¬,'¯,~,')
Una sentencia que es modificada con el conector no es llamada la negación de la sentencia original.

P	¬P
F	V
V	F

Y (^)
La conjunción de P,Q es denotada P^Q . La conjunción ves verdadera solo si P y Q son verdaderas.

P	Q	P^Q
F	F	F
F	V	F
V	F	F
V	V	V

O(v)
La disyuncion de P,Q es denotada PvQ. La disyunción es verdadera si almenos uno de sus elementos es verdadero.

P	Q	PvQ
F	F	F
F	V	V
V	F	V
V	V	V

Implicación (→)
Para dos declaraciones P→Q decimos P implica a Q y se escribe P→Q.
La expresión P es llamada la hipótesis o antecedentr de la implicación Q es llamada la conclusión o consecuente de la implicación.

P	Q	P→Q
F	F	V
F	V	F
V	F	F
V	V	V

Doble implicación (←→)
Otra declaración común en matematicas es P si y solo si Q o simbólicamente P←→Q. Esto rd llamado la equivalencia de dos proposiciones.
Si P entonces Q y si Q entonces P. Q es una condición necesaria y suficiente para P.

P	Q	P←→q
F	F	V
F	F	F
V	F	F
V	V	V

LOGICA

La resolución de problemas, diseños de algoritmos y programación requieren un razonamiento lógico completo. La lógica trata los metodos y el arte de razonamiento sistemático.

Lógica proposicional

• Proposiciones simples. Una proposición es una sentencia declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas, por ejemplo:

"La mañana es fría"

"Un girasol es amarillo"

• Proposiciones Compuestas. Una proposición es indivisible se conoce como proposición primitiva.  Las sentencias derivadas de las primitivas y de varios conectores lógicos como: No, y, o, si... Entonces,  si y solo si; se conocen como proposiciones compuestas.

Ejemplos: 

Una gallina no es un cuadrúpedo. 

Las hojaa son rojas y azules.

El traje es negro o azul

Si te mojas entonces te enfermas

Un insecto vuela si y solo si tiene alas